函数及其表示、解析式（学生学案）
函数及其表示、解析式（学生学案）
知识结构：
1.函数的基本概念
(1)函数的定义：设a、b是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈a.
2.映射的概念
一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a→b为从集合a到集合b的一个映射.
3.分段函数与复合函数
①如果一个函数在定义域的不同子集中 因 对应关系 不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出 解析式 再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。
②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层 函数，g(x)叫做 内层 函数。
基础训练：
1.下列各对函数中，表示同一函数的是( ).
a.f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x b.f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)
c.f(u)＝ ，g(v)＝ d.f(x)＝()2，g(x)＝
2.设函数 ，则 ＝________.
3.设集合 ， ，从 到 有四种对应如图所示：
其中能表示为 到 的函数关系的有_____ ____.
4.已知函数 是一次函数，且 ， ,则 __ __.
5.设函数 ， ，则 _________； __________.
6.设函数 ， ,则 ___________； ____； ____.
7.（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， .
上述三个对应__________________是 到 的映射.
例题选讲：
例1：判断下列对应是否是从集合a到集合b的映射：
(1)a=r,b={x|x>0}，f:x→|x|； (2)a=n,b=n，f:x→|x-2|； (3)a={x|x>0},b=r，f:x→x2.
例2：设有函数组：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， .其中表示同一个函数的有_________
例3：(1)已知f＝lg x，求f(x)；
（2）已知函数 ，求 ；
(3)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式.
(4)已知f(x)＋ 2f()＝2x＋1，求f(x).
例4
例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系.试写出 的函数解析式.
例5.矩形 的长 ，宽 ，动点 、 分别在 、 上，且 ，（1）将 的面积 表示为 的函数 ，求函数 的解析式；
（2）求 的最大值.
巩固作业：
a组：
一、选择题：
1.下列函数中，与函数 相同的函数是 （ ）
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