3.3 等差数列的前n项和（第一课时）

3.3 等差数列的前n项和（第一课时）

教学目的：1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.  2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题           教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应 教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 教学过程： 一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1.等差数列的定义： － =d ，（n≥2，n∈n+） 2.等差数列的通项公式：  ( 或 =pn+q (p、q是常数)) 3.几种计算公差d的方法：① d= －     ② d=     ③ d=     4.等差中项： 成等差数列 5.等差数列的性质： m+n=p+q  (m, n, p, q ∈n )6.伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时计算1+2+…100的小故事, 小高斯的计算方法启发我们下面要研究的求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，— “倒序相加”法。   二、讲解新课： 1.数列的前n项和的定义：数列 中， 称为数列 的前n项和，记为 .  2.等差数列的前 项和公式1： 证明：     ①         ②①+②：       ∵    ∴   由此得：                      1  3. 等差数列的前 项和公式2： 把   代入公式1即得：       24. 等差数列的前 项和公式的函数解析式特征：公式2又可化成式子： ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式。 5.用方程思想理解等差数列的通项公式与前n项和公式：等差数列的通项公式与前n项和公式反映了等差数列的五个基本元素：a1,d,n,an,sn 之间的关系，从方程的角度看，它们可以构成两个独立方程（前n项和公式1、2是等价的），五元素中“知三求二”，解常规问题可以通过解方程或解方程组解决. 三、例题讲解 例1 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：

7500

8000

8500

9000

9500

10000

1050

这位运动员7天共跑了多少米？（课本p116例1） 例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？（课本p116例2） 例3 求集合m={m|m=7n,n∈n*,且m＜100}中元素的个数，并求这些元素的和. （课本p117例3） 例4 .已知等差数列{ }中 =13且 = ,那么n取何值时, 取最大值. 解法1：设公差为d，由 = 得： 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,  =13-2(n-1),  =15-2n, 由 即 得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时, 取最大值. 解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以     = - n +14 n        = -（n-7） +49 ∴当n=7， 取最大值。 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用 : 当 >0，d<0，前n项和有最大值。可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值。 当 <0，d>0，前n项和有最小值。可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值。 （2） 利用 ： 由 利用二次函数配方法求得最值时n的值。 四、练习：        已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前 项和的公式.（课本p117 例4）