高二数学《圆锥曲线最值问题的求解》集体备课

小编2026-04-06 12:17:03数学教案次阅读

一、定义法（最短路径）
对于求距离和的问题，要结合圆锥曲线自身的特点，巧妙地利用定义，解决距离的最值.
例1：已知抛物线，定点a(3,1)，f 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 p,使|ap|+|pf|取最小值，并求的最小值。:
分析：利用抛物线的定义把到点p到抛物线准线的距离转化成点p到焦点的距离，在利用三角形的知识求最小值. 由点a引准线的垂线，垂足q，则 |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值。
o
f(1,0) x
a(3,1)
y
q     p
解：如图， , 焦点f(1,0) 。由点a引准线x= -1的垂线，垂足q，则 |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即为最小值. .

由 , 得为所求点.



若另取一点，显然。
[点悟]：解此类最值问题时，首先注意圆锥曲线定义的转化应用，其次是平面几何知识的应用，例如两点之间的线段最短，三角形中的三边之间的不等关系，点与直线上的点的连线的中垂线段最短等.
二、参数法
    利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
例2、已知椭圆，直线l： , 椭圆上有一动点p, 求p到直到直线的最小距离.
分析：写出椭圆参数方程，设切点为，然后代入点到直线的距离公式，结合三角函数的最值判断距离的最值.
解：由题意可设动点的坐标为，
则点p到直线l的距离为
[点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。
三、二次函数法
     将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解.
分析：求出椭圆的焦点，代入所求的表达式中，整理得出函数的表达式，再利用函数方法求解。
解：易知，所以设
因为，所以x=0, 即点p为短轴的端点时，有最小值 -2.
当
[点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。
四、数形结合
   在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，，利用平面几何知识求解，蕴涵了数形结合的思想。