2.3 函数的单调性（第二课时）

2.3 函数的单调性（第二课时）

教学目的：1.. 巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.教学难点：单调性的综合运用一、复习引入：1.有关概念：增函数，减函数，函数的单调性，单调区间.2.判断证明函数单调性的一般步骤：（区间内）设量，作差（或比），变形，比较，判断.二、讲解新课：1.函数单调性的判断与证明例1.求函数 的单调区间.2.复合函数单调性的判断对于函数 和 ，如果 在区间 上是具有单调性，当 时， ，且 在区间 上也具有单调性，则复合函数 在区间 具有单调性的规律见下表：增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.证明：①设 ，且 ∵ 在 上是增函数，∴ ，且 ∵ 在 上是增函数，∴ .所以复合函数 在区间 上是增函数。②设 ，且 ，∵ 在 上是增函数，∴ ，且 ∵ 在 上是减函数，∴ .所以复合函数 在区间 上是减函数。③设 ，且 ，∵ 在 上是减函数，∴ ，且 ∵ 在 上是增函数，∴ .所以复合函数 在区间 上是减函数。④设 ，且 ，∵ 在 上是减函数，∴ ，且 ∵ 在 上是减函数，∴ .所以复合函数 在区间 上是增函数。例2.求函数 的值域，并写出其单调区间。解：题设函数由 和 复合而成的复合函数，函数 的值域是 ，    在 上的值域是 .故函数 的值域是 .对于函数的单调性，不难知二次函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；二次函数 区间 上是减函数，在区间 上是增函数。当 时， ，即 ， 或 .当 时， ，即 ， .

x

[-1,0]

(0,1)

u=g(x)

增

增

减

减y=f(u)

增

减

减

增y=f(g(x))

增

减

增

减综上所述，函数 在区间 、 上是增函数；在区间 、 上是减函数。三、课堂练习：课本p60练习：3，4四、作业：    课本p60 习题2.3 6（2），7              补充，已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)