3.1 等差数列（第二课时，等差数列的性质）

小编2026-04-06 05:00:38数学教案次阅读

教学目的：1.明确等差中项的概念.2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题一、复习引入1.等差数列的定义；2.等差数列的通项公式：（1），（2），（3）3.有几种方法可以计算公差d
① d= － ② d= ③ d= 二、讲解新课：问题：如果在与中间插入一个数a，使，a，成等差数列数列，那么a应满足什么条件？由定义得a- = -a ，即：反之，若，则a- = -a由此可可得：成等差数列。也就是说，a= 是a,a,b成等差数列的充要条件定义：若，a，成等差数列，那么a叫做与的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。注意到，，……由此猜测：性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈n ) （以上结论由学生证明）但通常 ①由推不出m+n=p+q ，② 特例：等差数列{an}中，与首尾“等距离”的任意两项和相等.即三、例题例1在等差数列{ }中，若 + =9, =7, 求 , .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式 + = + =9入手……（答案： =2, =32）例2 等差数列{ }中， + + =－12, 且 · · =80. 求通项分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再构造一个等式出来。（答案： =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5）例3在等差数列{ }中, 已知＋＋＋＋＝450, 求＋及前9项和（＝＋＋＋＋＋＋＋＋）. 提示：由双项关系式：＋＝2 ，＋＝2 及＋＋＋＋＝450, 得5 ＝450, 易得＋＝2 ＝180. ＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋＝9 ＝810.例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c), b2(c+a), c2(a+b) 是否成等差数列。分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a) - c2(a+b) = 0 是否成立.例5 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）四、练习：1.在等差数列中，已知，，求首项与公差 2. 在等差数列中, 若求 3.在等差数列中若，，求五、作业：课本：p114习题3.2 7. 10，11.《精析精练》p117 智能达标训练