子集、全集、补集·典型例题

子集、全集、补集·典型例题

能力素质

例1  判定以下关系是否正确

(2){1，2，3}＝{3，2，1}

(4)0∈{0}

分析  空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

解  根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的.

说明：含元素0的集合非空.

例2  列举集合{1，2，3}的所有子集.

分析  子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个.

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；

含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；

含有3个元素的子集有{1，2，3}.共有子集8个.

________.

分析  a中必含有元素a，b，又a是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的a有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}.

答  共3个.

说明：必须考虑a中元素受到的所有约束.

[    ]

分析  作出4图形.

答  选c.

说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便.

点击思维

例5  设集合a＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈r}，b＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈r}，则下列关系式中正确的是

[    ]

分析  问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上

x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，

y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此a＝b.

答  选a.

说明：要注意集合中谁是元素.

m与p的关系是

[    ]

a.m＝ up                                　　　　　　　　　　　　　　b.m＝p

分析  可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：m＝ un＝ u( up)＝p；三是利用画图的方法.

答  选b.

说明：一题多解可以锻炼发散思维.

例7  下列命题中正确的是

[    ]

a. u( ua)＝{a}

分析  d选择项中a∈b似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支.

是由这所有子集组成的集合，集合a是其中的一个元素.

∴a∈b.

答  选d.

说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意.

例8  已知集合a＝{2，4，6，8，9}，b＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合c是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为a的一个子集；若各元素都减2后，则变为b的一个子集，求集合c.

分析  逆向操作：a中元素减2得0，2，4，6，7，则c中元素必在其中；b中元素加2得3，4，5，7，10，则c中元素必在其中；所以c中元素只能是4或7.

答  c＝{4}或{7}或{4，7}.

说明：逆向思维能力在解题中起重要作用.

学科渗透

例9  设s＝{1，2，3，4}，且m＝{x∈s|x2－5x＋p＝0}，若 sm＝{1，4}，则p＝________.

分析  本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于 sm＝{1，4}，

∴m＝{2，3}则由韦达定理可解.

答  p＝2×3＝6.

说明：集合问题常常与方程问题相结合.

例10  已知集合s＝{2，3，a2＋2a－3}，a＝{|a＋1|，2}， sa＝{a＋3}，求a的值.